板材為啥用介電常數(shù)和損耗角正切來表征呢？

作為一個射頻工程師，對PCB板材，那肯定是熟悉的不得了。

自從微帶電路被發(fā)明后，基本上大多數(shù)系統(tǒng)，都是以PCB板材作為載體，而各種器件被置于PCB板材上面，發(fā)揮各自的性能。

假設(shè)射頻工程師，選定某種板材時，最關(guān)注板材的哪兩個參數(shù)呢？很顯然，就是相對介電常數(shù)和損耗角正切。

隨便找一個板材的datasheet，比如說在微波頻率時，很受歡迎的rogers他們家的 RO4000系列的板材。

排在前面的，就是介電常數(shù)(dielectric Constant)和Dissipation Factor(耗散因子，即損耗角正切)。

可是為啥這兩個參數(shù)，基本上就能確定這個板材的射頻性能呢？

這個嘛，也可以從麥克斯韋方程中找到答案。

麥克斯韋方程，是由麥克斯韋在1873年提出來的。1873年，距現(xiàn)在已經(jīng)有150年。但現(xiàn)在我們還是在時不時的提起它，用到它。

從這方面來看，學射頻也有一個好處，那就是射頻知識更新的沒有那么快，不會說，你剛剛費九牛二虎之力把一個東西學會，就發(fā)現(xiàn)用不上了。

說回，麥克斯韋方程。時變麥克斯韋方程的差分形式，如下圖所示。

上面的時變場分量，是空間坐標x,y,z和時間變量t的實函數(shù)。

麥克斯韋方程，對任何時間函數(shù)都是成立的，不過這任何函數(shù)的計算則是相當復雜的。

傅里葉變換可以將任何函數(shù)，轉(zhuǎn)換成多個時諧函數(shù)的集合。所以，可以主要來看麥克斯韋方程的時諧解。

對于一個實正弦信號，可以用下列形式表示：

A(t)可以使用相量表示，即:

從上面公式可知，A(t)的相量形式，省去了Re{}以及e(jwt)。這樣做的前提是：

(1) 被表示的變量是一個實數(shù)，所以不需要將Re{}寫出來

(2) 處理的系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)，即變量的頻率分量是不變的，因此，不需要把e(jwt)寫出來。

所以，用相量來表示一個正弦信號時，只要寫出其幅度和相位就可以了。

不過，雖然不用寫出來，但是需要記住的是，其實這兩項是存在的。如果對A(t)進行求導的話，不能忘記還有時間的存在，即：

因此，麥克斯韋的相量形式如下圖所示。

在自由空間中，電場與電通量密度，磁場與磁通量密度之間有下列的簡單的關(guān)系式，稱為本構(gòu)關(guān)系。

以上，都是假設(shè)電場和磁場都存在于自由空間里，但是在實際過程中，媒質(zhì)是經(jīng)常性存在的，就像開頭所說的板材。

雖然媒質(zhì)的存在，讓計算變得復雜，但是因為這些材料的存在，才出現(xiàn)了射頻微波的蓬勃發(fā)展。

在自由空間中，場分量是通過本構(gòu)關(guān)系，互相關(guān)聯(lián)起來的。在媒質(zhì)中，同樣如此。

對于介電材料，施加在上面的電場，會導致材料內(nèi)的原子或分子發(fā)生極化，從而產(chǎn)生電偶極矩，改變總的電通量。

那物質(zhì)是線性的，是個啥意思？

實驗發(fā)現(xiàn)，如果施加的電場不是太大的話，極化的程度與電場呈線性關(guān)系。所以，如果一個材料，其極化和電場之間滿足線性關(guān)系，則稱之為線性電介質(zhì)。

在一個電導率為σ的材料中，導體電流密度為：

因此麥克斯韋方程中磁場的旋度方程，可以表示為

從上面可以看到，介電阻尼引起的損耗與電導率損耗無法區(qū)分。

因此，可以將：

看成總的有效導電率。

并定義損耗角正切為：

即虛部和實部的比值。

復介電常數(shù)的虛部，表示的是損耗，分別來自由介電阻引起的損耗和電導率產(chǎn)生的損耗。在自由空間內(nèi)，復介電常數(shù)的虛部為0，只有實部，因此是無耗的。

一般的PCB板材，都是絕緣材料，所以 電導率σ為0，此時損耗角正切為：

而相對介電常數(shù)是復介電常數(shù)的實部與自由空間中介電常數(shù)的比值。

所以說，板材為啥用介電常數(shù)和損耗角正切來表征呢？

這是因為相對介電常數(shù)和損耗角正切確定了，那么復介電常數(shù)就確定了，然后電通量和電場之間的關(guān)系也就有了。

等等，你怎么光考慮電場，不考慮磁場??？

材料的介電常數(shù) (permittivity)有了，那磁導率 (permeability)呢？

其實類似的，磁介質(zhì)中發(fā)生的現(xiàn)象和電介質(zhì)中類似。

施加在介質(zhì)中的磁場，會在磁介質(zhì)中產(chǎn)生磁偶極矩，從而產(chǎn)生磁極化。

同樣的，復磁導率的虛部，也表示損耗。

相對磁導率定義為：

那可能大家就會覺得奇怪了，既然也有相對磁導率，那為啥在PCB板材的手冊中，沒有看到呢？

這是因為，大多數(shù)非磁性材料，其相對磁導率都為1，而此損耗角正切為0.比如說在HFSS里面的Rogers4350的材料參數(shù)。

知道了復數(shù)介電常數(shù)和復數(shù)磁導率后，麥克斯韋在媒質(zhì)中的相量形式，如下圖所示。

本構(gòu)關(guān)系等式，如下圖所示：

而復數(shù)介電常數(shù)，可以由相對介電常數(shù)和損耗角正切來表示；復數(shù)磁導率，對于非磁性材料來講，相對磁導率為1，磁損耗角正切為0.

所以，板材可以用相對介電常數(shù)和損耗角正切來表征其射頻上的性能。

參考文獻：

【1】?http://www.physicsbootcamp.org/Linear-Dielectrics.html

【2】 微波工程