建模與仿真介紹

建模是表示模型的過程，包括模型的構建和運行。該模型與真實系統(tǒng)相似，有助于開發(fā)與驗證等人員預測系統(tǒng)變化的影響。換句話說，建模就是創(chuàng)建一個代表系統(tǒng)（包括其屬性）的模型。這是一種建立模型的行為。

系統(tǒng)仿真是在時間或空間方面對模型的操作，有助于分析現(xiàn)有或擬議系統(tǒng)的性能。換句話說，模擬是使用模型研究系統(tǒng)性能的過程。它是一種使用模型進行模擬的行為。

仿真的歷史

仿真的歷史沿革按時間順序排列。

1940 年--研究人員（約翰-馮-諾依曼、斯坦尼斯瓦夫-烏蘭、愛德華-特勒、赫爾曼-卡恩）和物理學家開發(fā)出一種名為 "蒙特卡羅 "的方法，用于研究曼哈頓中子散射項目。

1960 年--蘭德公司（RAND Corporation）的哈里-馬科維茨（Harry Markowitz）開發(fā)出第一種專用模擬語言，如 SIMSCRIPT。

1970 年--在此期間，開始研究模擬的數(shù)學基礎。

1980 年--在此期間，開發(fā)了基于 PC 的仿真軟件、圖形用戶界面和面向對象編程。

1990 年--在此期間，開發(fā)了基于網(wǎng)絡的仿真、花哨的動畫圖形、基于仿真的優(yōu)化、馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法。

開發(fā)仿真模型

仿真模型由以下部分組成：系統(tǒng)實體、輸入變量、性能指標和功能關系。以下是開發(fā)仿真模型的步驟：

第 1 步 - 確定現(xiàn)有系統(tǒng)的問題或設定擬議系統(tǒng)的要求。

第 2 步 - 設計問題，同時考慮現(xiàn)有系統(tǒng)的因素和限制。

第 3 步 - 收集并開始處理系統(tǒng)數(shù)據(jù)，觀察其性能和結果。

第 4 步 - 使用網(wǎng)絡圖開發(fā)模型，并使用各種驗證技術進行驗證。

第 5 步 - 將模型在各種條件下的性能與實際系統(tǒng)進行比較，從而驗證模型。

第 6 步 - 創(chuàng)建一份模型文檔，供將來使用，其中包括目標、假設、輸入變量和性能的詳細信息。

第 7 步 - 根據(jù)要求選擇適當?shù)膶嶒炘O計。

第 8 步 - 在模型上引入實驗條件并觀察結果。

執(zhí)行仿真分析

以下是進行仿真分析的步驟：

第 1 步 - 編寫問題陳述。

第 2 步 - 為仿真過程選擇輸入變量并創(chuàng)建實體。變量分為兩類--決策變量和不可控變量。決策變量由程序員控制，而不可控變量是隨機變量。

第 3 步 - 將決策變量分配給模擬流程，從而為其創(chuàng)建約束條件。

第 4 步 - 確定輸出變量。

第 5 步 - 從現(xiàn)實系統(tǒng)中收集數(shù)據(jù)，輸入模擬程序。

第 6 步 - 繪制顯示模擬過程進度的流程圖。

第 7 步 - 選擇合適的仿真軟件運行模型。

第 8 步 - 將仿真結果與實時系統(tǒng)進行比較，驗證仿真模型。

第 9 步 - 通過改變變量值對模型進行實驗，以找到最佳解決方案。

第 10 步 - 最后，將這些結果應用到實時系統(tǒng)中。

建模與仿真 - 優(yōu)勢

使用建模與仿真的優(yōu)勢如下：

易于理解 - 無需使用實時系統(tǒng)，即可了解系統(tǒng)的實際運行情況。

易于測試 - 無需在實時系統(tǒng)上工作，即可對系統(tǒng)進行更改，并了解更改對輸出的影響。

易于升級 - 可以通過應用不同的配置來確定系統(tǒng)需求。

易于識別限制因素 - 可以對造成工作流程、信息等延遲的瓶頸進行分析。

易于診斷問題--某些系統(tǒng)非常復雜，不容易同時理解它們之間的相互作用。然而，建模與仿真可以了解所有的相互作用并分析其影響。此外，還可以在不影響實際系統(tǒng)的情況下探索新的政策、操作和程序。

建模與仿真 - 缺點：

使用建模與仿真的缺點如下

設計模型是一門藝術，需要領域知識、培訓和經(jīng)驗。

使用隨機數(shù)對系統(tǒng)進行操作，因此很難預測結果。

模擬需要人力，是一個耗時的過程。

模擬結果難以轉化。需要專家才能理解。

仿真過程費用昂貴。

建模與仿真 - 應用領域

建模與仿真可應用于以下領域 - 軍事應用、培訓與支持、半導體設計、電信、土木工程設計與演示以及電子商務模型。

此外，它還可用于研究生物系統(tǒng)等復雜系統(tǒng)的內(nèi)部結構。它還可用于優(yōu)化系統(tǒng)設計，如路由算法、裝配線等。用于測試新的設計和策略。用于驗證分析解決方案。

模型與事件

以下是建模與仿真的基本概念：對象是存在于現(xiàn)實世界中的實體，用于研究模型的行為?；A模型是對對象屬性及其行為的假設性解釋，在整個模型中有效。系統(tǒng)是現(xiàn)實世界中存在的、在確定條件下的可銜接對象。實驗框架用于研究現(xiàn)實世界中的系統(tǒng)，如實驗條件、方面、目標等?；緦嶒灴蚣苡蓛山M變量組成--框架輸入變量和框架輸出變量，它們與系統(tǒng)或模型終端相匹配?？蚣茌斎胱兞控撠熎ヅ鋺糜谙到y(tǒng)或模型的輸入。框架輸出變量負責匹配系統(tǒng)或模型的輸出值。集成模型是對系統(tǒng)的精確解釋，它遵循給定實驗框架的指定條件。Verification驗證是比較兩個或多個項目以確保其準確性的過程。在建模與仿真中，驗證可以通過比較仿真程序和集成模型的一致性來完成，以確保它們的性能。執(zhí)行驗證過程有多種方法，我們將在后面介紹。Validation確認是比較兩個結果的過程。在建模與仿真中，確認是通過比較實驗測量結果和實驗框架內(nèi)的仿真結果來進行的。如果結果不匹配，則模型無效。確認過程有多種方法，我們將在后續(xù)介紹。

系統(tǒng)狀態(tài)變量

系統(tǒng)狀態(tài)變量是一組數(shù)據(jù)，用于定義給定時間點上系統(tǒng)的內(nèi)部過程。在離散事件模型中，系統(tǒng)狀態(tài)變量在時間間隔內(nèi)保持不變，其值在稱為事件時間的定義點發(fā)生變化。在連續(xù)事件模型中，系統(tǒng)狀態(tài)變量由微分方程結果定義，其值隨時間不斷變化。以下是一些系統(tǒng)狀態(tài)變量：實體和屬性 - 實體代表一個對象，其值可以是靜態(tài)的，也可以是動態(tài)的，這取決于與其他實體的過程。屬性是實體使用的本地值。資源 - 資源是同時為一個或多個動態(tài)實體提供服務的實體。動態(tài)實體可以請求一個或多個資源單位；如果被接受，實體就可以使用該資源，并在使用完畢后釋放。如果被拒絕，實體可加入隊列。隊列--隊列用于表示實體和資源使用的隊列。隊列有多種可能，如后進先出、先進先出等，具體取決于流程。延遲 - 由系統(tǒng)條件的某些組合造成的不確定持續(xù)時間。

模型分類

系統(tǒng)可分為以下幾類：離散事件仿真模型 - 在該模型中，狀態(tài)變量值僅在事件發(fā)生的某些離散時間點發(fā)生變化。事件只會在規(guī)定的活動時間和延遲時間發(fā)生。隨機系統(tǒng)與確定系統(tǒng) - 隨機系統(tǒng)不受隨機性影響，其輸出也不是隨機變量，而確定系統(tǒng)受隨機性影響，其輸出是隨機變量。靜態(tài)仿真與動態(tài)仿真?- 靜態(tài)仿真包括不受時間影響的模型。例如Monte Carlo模型。動態(tài)仿真包括受時間影響的模型。離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng) - 離散系統(tǒng)受離散時間點上狀態(tài)變量變化的影響。其行為如下圖所示。

連續(xù)系統(tǒng)受狀態(tài)變量的影響，狀態(tài)變量作為函數(shù)隨時間連續(xù)變化。其行為如下圖所示。

建模過程建模過程包括以下步驟：

第 1 步 - 研究問題。在這一階段，我們必須了解問題，并選擇相應的分類，如確定性或隨機性。第 2 步 - 設計模型。在這一階段，我們必須執(zhí)行以下簡單任務，以幫助我們設計模型：

根據(jù)系統(tǒng)行為和未來需求收集數(shù)據(jù)；分析系統(tǒng)特征、假設以及為使模型成功而需采取的必要行動；確定模型中使用的變量名、函數(shù)、單位、關系及其應用；使用合適的技術求解模型，并使用驗證方法驗證結果。然后，驗證結果；編寫一份報告，其中包括結果、解釋、結論和建議。第 3 步 - 在完成與模型相關的整個流程后提出建議。包括投資、資源、算法、技術等。

驗證和確認?Validation&Verification

仿真工程師面臨的真正問題之一是驗證模型。只有當仿真模型準確地再現(xiàn)了實際系統(tǒng)時，仿真模型才是有效的，否則就是無效的。

驗證和確認是任何仿真項目中驗證模型的兩個步驟：

Validation驗證是比較兩個結果的過程。在這個過程中，我們需要將概念模型的表示與實際系統(tǒng)進行比較。如果比較結果為真，則模型有效，否則無效。

Verification確認是比較兩個或多個結果以確保其準確性的過程。在這個過程中，我們必須將模型的實現(xiàn)及其相關數(shù)據(jù)與開發(fā)人員的概念描述和規(guī)格說明進行比較。

驗證和確認技術

仿真模型的驗證和確認有多種技術。以下是一些常見的技術：

以下是對仿真模型進行驗證的方法：

使用編程技巧編寫和調試子程序；

使用 "結構化演練 "策略，由多人閱讀程序；

跟蹤中間結果，并與觀察到的結果進行比較；

使用各種輸入組合檢查仿真模型輸出；

將最終仿真結果與分析結果進行比較。

驗證仿真模型的技術

步驟 1 - 設計一個高度有效的模型?？赏ㄟ^以下步驟實現(xiàn)：

設計模型時必須與系統(tǒng)專家進行討論；

模型必須在整個過程中與客戶互動；

輸出結果必須由系統(tǒng)專家監(jiān)督。

第 2 步 - 根據(jù)假設數(shù)據(jù)測試模型。這可以通過將假設數(shù)據(jù)應用到模型中并對其進行定量測試來實現(xiàn)。還可以進行敏感性分析，以觀察輸入數(shù)據(jù)發(fā)生重大變化時結果變化的影響。

第 3 步 - 確定模擬模型的代表性輸出。可通過以下步驟實現(xiàn)：

確定模擬輸出與真實系統(tǒng)輸出的接近程度；

可以使用圖靈測試進行比較。它以系統(tǒng)格式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，只有專家才能解釋；

統(tǒng)計方法可用于比較模型輸出與真實系統(tǒng)輸出。

模型數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)的比較

模型開發(fā)完成后，我們必須將其輸出數(shù)據(jù)與真實系統(tǒng)數(shù)據(jù)進行比較。以下是進行比較的兩種方法。

驗證現(xiàn)有系統(tǒng)：

在這種方法中，我們使用模型的真實輸入，將其輸出與真實系統(tǒng)的真實輸入進行比較。這一驗證過程簡單明了，但在執(zhí)行時可能會遇到一些困難，例如，如果要將輸出與平均時長、等待時間、空閑時間等進行比較，可以使用統(tǒng)計檢驗和假設檢驗進行比較。統(tǒng)計檢驗包括卡方檢驗、Kolmogorov-Smirnov 檢驗、Cramer-von Mises 檢驗和矩量檢驗。

驗證首次模型：

考慮到我們必須描述一個目前不存在、過去也不存在的擬議系統(tǒng)。因此，沒有可用的歷史數(shù)據(jù)來比較其性能。因此，我們必須使用一個基于假設的假定系統(tǒng)。以下有用的要點將有助于提高其效率。

子系統(tǒng)有效性 - 模型本身可能沒有任何現(xiàn)有系統(tǒng)可與之比較，但它可能由已知的子系統(tǒng)組成?？梢苑謩e測試每個子系統(tǒng)的有效性。

內(nèi)部有效性--一個內(nèi)部差異較大的模型將被拒絕，因為一個內(nèi)部過程差異較大的隨機系統(tǒng)會掩蓋輸入變化帶來的輸出變化。

敏感性分析 - 它提供了系統(tǒng)中敏感參數(shù)的信息，我們需要對這些參數(shù)給予更多關注。

表面有效性 - 當模型的表現(xiàn)與邏輯相反時，即使它的表現(xiàn)與真實系統(tǒng)相似，也應予以否定。

離散模型仿真

在離散系統(tǒng)中，系統(tǒng)狀態(tài)的變化是不連續(xù)的，系統(tǒng)狀態(tài)的每次變化都稱為一個事件。離散系統(tǒng)仿真中使用的模型有一組數(shù)字來表示系統(tǒng)狀態(tài)，稱為狀態(tài)描述符。在本文中還將介紹隊列仿真，這是離散事件仿真和分時系統(tǒng)仿真中非常重要的一個方面。

以下是離散系統(tǒng)仿真的行為圖示：

離散事件仿真 - 主要特點

離散事件仿真通常由使用高級編程語言（如 Pascal、C++ 或其他專門的仿真語言）設計的軟件來執(zhí)行。以下是五個主要特征：

實體 - 表示機器部件等真實元素。

關系 - 指將實體聯(lián)系在一起。

仿真執(zhí)行器 - 它負責控制提前時間和執(zhí)行離散事件。

隨機數(shù)生成器 - 它有助于模擬進入仿真模型的不同數(shù)據(jù)。

結果和統(tǒng)計 - 它驗證模型并提供其性能指標。

時間圖表示法

每個系統(tǒng)都取決于時間參數(shù)。在圖形表示法中，它被稱為時鐘時間或時間計數(shù)器，初始時設置為零。時間的更新基于以下兩個因素：

時間切分 - 這是模型為每個事件定義的時間，直到?jīng)]有任何事件發(fā)生。

下一個事件 - 模型為下一個要執(zhí)行的事件定義的事件，而不是時間間隔。它比時間片更有效。

隊列系統(tǒng)仿真

隊列是系統(tǒng)中正在接受服務的所有實體和等待輪到他們的實體的組合。

參數(shù)：

以下是隊列系統(tǒng)中使用的參數(shù)列表。

符號 說明

λ 表示到達率，即每秒到達的人數(shù)

Ts 表示每次到達的平均服務時間，不包括隊列中的等待時間

σTs 表示服務時間的標準偏差

ρ 表示服務器空閑和繁忙時的時間利用率

u 表示流量強度

r 表示系統(tǒng)中項目的平均值

R 表示系統(tǒng)中的項目總數(shù)

Tr 表示系統(tǒng)中項目的平均時間

TR 表示系統(tǒng)中項目的總時間

σr 表示 r 的標準偏差

σTr 表示 Tr 的標準偏差

w 表示隊列中等待物品的平均數(shù)量

σw 表示 w 的標準差

Tw 表示所有項目的平均等待時間

Td 表示在隊列中等待的項目的平均等待時間

N 表示系統(tǒng)中服務器的數(shù)量

mx(y) 表示第 y 個百分位數(shù)，即低于該百分位數(shù)的 y 值在 x 出現(xiàn)的時間中占 y%。

單服務器隊列

這是最簡單的隊列系統(tǒng)，如下圖所示。系統(tǒng)的中心元素是服務器，它為連接的設備或項目提供服務。如果服務器處于空閑狀態(tài)，則項目請求系統(tǒng)提供服務。那么它就會立即得到服務，否則就會加入等待隊列。服務器完成任務后，項目離開。

多服務器隊列

顧名思義，該系統(tǒng)由多個服務器和一個用于所有項目的共同隊列組成。當任何項目請求服務器時，如果至少有一臺服務器可用，就會分配給它。否則，隊列開始啟動，直到服務器空閑為止。在這個系統(tǒng)中，我們假設所有服務器都是相同的，即哪個項目選擇哪個服務器沒有區(qū)別。

但利用率是個例外。假設 N 是相同的服務器，那么 ρ 就是每個服務器的利用率。設 Nρ 為整個系統(tǒng)的利用率，則最大利用率為 N*100%，最大輸入率為：

$λmax = frac{{text{N}}{text{T}s}$

隊列關系

下表顯示了一些基本隊列關系：

一般術語? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?單服務器? ?多服務器

r = λTr 利特爾公式? ? ? ρ = λTs? ? ? ρ = λTs/N

w = λTw利特爾公式? ? r = w + ρ? ?u = λTs = ρN

Tr = Tw + Ts? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? r = w + Nρ

分時系統(tǒng)仿真

時間共享系統(tǒng)的設計方式是，每個用戶只使用系統(tǒng)上共享時間的一小部分，從而導致多個用戶同時共享系統(tǒng)。每個用戶的切換如此迅速，以至于每個用戶都感覺在使用自己的系統(tǒng)。它基于 CPU 調度和多程序設計的概念，通過在一個系統(tǒng)上同時執(zhí)行多個任務，可以有效地利用多個資源。

連續(xù)系統(tǒng)仿真連續(xù)系統(tǒng)是指系統(tǒng)的重要活動在沒有任何延遲的情況下順利完成的系統(tǒng)，即沒有事件排隊、沒有時間仿真排序等。在對連續(xù)系統(tǒng)進行數(shù)學建模時，其代表屬性的變量由連續(xù)函數(shù)控制。什么是連續(xù)仿真？連續(xù)仿真是一種狀態(tài)變量隨時間連續(xù)變化的仿真類型。以下是其行為的圖形表示。

為什么使用連續(xù)仿真？

我們必須使用連續(xù)仿真，因為它取決于與系統(tǒng)相關的各種參數(shù)的微分方程以及我們已知的估計結果。應用領域連續(xù)模擬用于以下領域。土木工程中的堤壩建設和隧道建設。在軍事領域，用于導彈彈道模擬、戰(zhàn)斗機訓練模擬以及水下航行器智能控制器的設計和測試。在物流領域，用于收費廣場設計、機場航站樓客流分析和航班時刻主動評估。在業(yè)務開發(fā)方面，用于產(chǎn)品開發(fā)規(guī)劃、員工管理規(guī)劃和市場研究分析。

蒙特卡羅仿真蒙特卡羅仿真是一種計算機化的數(shù)學技術，可根據(jù)某些已知分布生成隨機樣本數(shù)據(jù)，用于數(shù)值實驗。這種方法適用于風險定量分析和決策問題。金融、項目管理、能源、制造、工程、研發(fā)、保險、石油天然氣、交通等各行各業(yè)的專業(yè)人士都在使用這種方法。1940 年，研究原子彈的科學家首次使用這種方法。這種方法可用于我們需要做出估計和不確定決策的情況，如天氣預報預測。

蒙特卡羅仿真 - 重要特征以下是蒙特卡洛法的三個重要特征 - 它的輸出必須產(chǎn)生隨機樣本：其輸出必須產(chǎn)生隨機樣本；其輸入分布必須已知；在進行實驗時必須知道實驗結果；

蒙特卡羅仿真?- 優(yōu)點易于實施；利用計算機為數(shù)值實驗提供統(tǒng)計采樣；提供數(shù)學問題的近似解；既可用于隨機問題，也可用于確定性問題。

蒙特卡羅模仿真- 缺點耗費時間，因為需要生成大量抽樣才能獲得所需的輸出；這種方法的結果只是真實值的近似值，而不是精確值。

蒙特卡羅模擬法 - 流程圖下圖是蒙特卡羅模擬的一般流程圖。
建模與仿真 - 數(shù)據(jù)庫

建模與仿真中的數(shù)據(jù)庫旨在為分析和測試目的提供數(shù)據(jù)表示及其關系。第一個數(shù)據(jù)模型由 Edgar Codd 于 1980 年提出。該模型的突出特點如下：數(shù)據(jù)庫是定義信息及其關系的不同數(shù)據(jù)對象的集合；規(guī)則用于定義對象中數(shù)據(jù)的約束條件；操作可應用于對象以檢索信息。

最初，數(shù)據(jù)建?；趯嶓w和關系的概念，其中實體是數(shù)據(jù)信息的類型，關系代表實體之間的關聯(lián)。數(shù)據(jù)建模的最新概念是面向對象設計，其中實體被表示為類，在計算機編程中用作模板。一個類有自己的名稱、屬性、約束以及與其他類對象的關系。其基本表示法如下

數(shù)據(jù)表示事件的數(shù)據(jù)表示：仿真事件具有事件名稱和相關時間信息等屬性。它表示使用與輸入文件參數(shù)相關聯(lián)的一組輸入數(shù)據(jù)執(zhí)行所提供的模擬，并以一組輸出數(shù)據(jù)的形式提供結果，這些數(shù)據(jù)存儲在與數(shù)據(jù)文件相關聯(lián)的多個文件中。

輸入文件的數(shù)據(jù)表示：每個仿真過程都需要一組不同的輸入數(shù)據(jù)及其相關參數(shù)值，這些數(shù)據(jù)在輸入數(shù)據(jù)文件中表示。輸入文件與處理模擬的軟件相關聯(lián)。數(shù)據(jù)模型通過與數(shù)據(jù)文件的關聯(lián)來表示引用文件。

輸出文件的數(shù)據(jù)表示：模擬過程結束后，會產(chǎn)生各種輸出文件，每個輸出文件都表示為一個數(shù)據(jù)文件。每個文件都有其名稱、描述和通用因子。一個數(shù)據(jù)文件分為兩個文件。第一個文件包含數(shù)值，第二個文件包含數(shù)值文件內(nèi)容的描述信息。

建模與仿真中的神經(jīng)網(wǎng)絡

神經(jīng)網(wǎng)絡是人工智能的一個分支。神經(jīng)網(wǎng)絡是由許多被稱為單元的處理器組成的網(wǎng)絡，每個單元都有自己的小型本地存儲器。每個單元通過單向通信通道連接起來，這些通道被稱為 "連接"，用于傳輸數(shù)字數(shù)據(jù)。每個單元只對其本地數(shù)據(jù)和從連接處接收的輸入數(shù)據(jù)進行處理。

歷史

仿真的歷史按時間順序排列：第一個神經(jīng)模型由 McCulloch 和 Pitts 于 1940 年開發(fā)；1949 年，唐納德-赫伯撰寫了《行為的組織》一書，指出了神經(jīng)元的概念；1950 年，隨著計算機的發(fā)展，建立這些理論的模型成為可能。這項工作由 IBM 研究實驗室完成。然而，這項工作失敗了，后來的嘗試取得了成功；1959 年，伯納德-維德羅（Bernard Widrow）和馬西安-霍夫（Marcian Hoff）開發(fā)了名為 "ADALINE "和 "MADALINE "的模型。這些模型具有多重 ADAptive LINear 元件。MADALINE 是第一個應用于實際問題的神經(jīng)網(wǎng)絡；1962 年，羅森布拉特（Rosenblatt）開發(fā)了感知器模型，該模型具有解決簡單模式分類問題的能力；1969 年，明斯基和帕帕特從數(shù)學角度證明了感知器模型在計算中的局限性。據(jù)說，感知器模型無法解決X-OR問題。這些缺陷導致了神經(jīng)網(wǎng)絡的暫時衰落；1982 年，加州理工學院的約翰-霍普菲爾德（John Hopfield）向美國國家科學院提交了他的論文，提出了利用雙向線制造機器的想法。在此之前，人們使用的是單向線；當涉及符號方法的傳統(tǒng)人工智能技術失敗后，人們開始需要使用神經(jīng)網(wǎng)絡。神經(jīng)網(wǎng)絡具有大規(guī)模并行技術，可提供解決此類問題所需的計算能力。。。。。。。

應用領域

神經(jīng)網(wǎng)絡可用于語音合成機、模式識別、檢測診斷問題、機器人控制板、智能駕駛視覺識別和醫(yī)療設備等。

建模與仿真中的模糊集

如前所述，連續(xù)仿真的每個過程都取決于微分方程及其參數(shù)，如 a、b、c、d > 0。但是，有時這些估計值是不確定的，因此我們需要微分方程中的模糊數(shù)來提供未知參數(shù)的估計值。

什么是模糊集？

在經(jīng)典集合中，一個元素要么是集合的成員，要么不是。模糊集是用經(jīng)典集 X 來定義的，即：A = {(x,μA(x))| x∈X}情況 1 - 函數(shù) μA(x) 具有以下性質?x ∈ X μA(x) ≥ 0sup x ∈ X {μA(x)} = 1

情況 2 - 假設模糊集 B 定義為 A = {(3, 0.3), (4, 0.7), (5, 1), (6, 0.4)}, 那么它的標準模糊符號為 A = {0.3/3, 0.7/4, 1/5, 0.4/6} 。

任何成員等級為零的值都不會出現(xiàn)在集合的表達式中。

情況 3 - 模糊集合與經(jīng)典清晰集合的關系。

下圖描述了模糊集與經(jīng)典脆集之間的關系：

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