從一維到二維，C++復(fù)數(shù)運(yùn)算總結(jié)

復(fù)數(shù)稱Complex Number，從英文上來看似乎它是“復(fù)雜的數(shù)”。其實(shí)并不然，它實(shí)際上指的是復(fù)合數(shù)，即由實(shí)部和虛部復(fù)合而成的數(shù)。它可以用下面的公式表示：

a（Real part）+ib（Imaginary part）

這里，純實(shí)數(shù)a是實(shí)部，ib是虛部，其中，a b都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)。

如果我們將實(shí)部作為x軸，虛部作為y軸，復(fù)數(shù)就可以在坐標(biāo)軸上表示了，這樣的坐標(biāo)系我們稱作復(fù)數(shù)坐標(biāo)系。它和復(fù)平面上原點(diǎn)的連線可以表示一個(gè)向量，向量和x軸的夾角為復(fù)數(shù)的輻角theta。

實(shí)數(shù)我們大家都很熟悉，在平時(shí)生活中，常用的也都是一些實(shí)數(shù)。那么，虛數(shù)是什么呢？

虛數(shù)并不是單純的數(shù)字，如果x^2=-1，我們就將它們的解定義為+/-i，這里的i就是虛數(shù)，很顯然虛數(shù)似乎并不是我們平時(shí)所使用的數(shù)，因?yàn)樵谖覀兯斫獾膶?shí)數(shù)領(lǐng)里任何一個(gè)數(shù)進(jìn)行平方之后都不可能是小于0的，但這并代表它沒有意義，我們可以換一個(gè)角度來理解虛數(shù)，我們通過它可將實(shí)數(shù)擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域。

要理解虛數(shù)我們就需要先復(fù)習(xí)一下之前學(xué)習(xí)的歐拉公式：

如果，

則，

相信這里大家應(yīng)該有了發(fā)現(xiàn)：

在復(fù)數(shù)域中，

復(fù)數(shù)與復(fù)指數(shù)相乘，相當(dāng)于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的角度。

這里就相當(dāng)于我們把1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，就可以得到i，如果我們?cè)倌鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)90度就是-1，也就是i*i。

所以，大家也就明白了i的含義，以及為什么i的平方等于-1了。

因此，虛數(shù)i的幾何意義上是一個(gè)旋轉(zhuǎn)量。

數(shù)學(xué)是一個(gè)偉大的工具，從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的擴(kuò)展是一個(gè)里程碑的進(jìn)步。數(shù)學(xué)家雅克·阿達(dá)馬說，在實(shí)數(shù)域中，連接兩個(gè)真理的最短的路徑是通過復(fù)數(shù)域。

程序中如何定義復(fù)數(shù)？

在C++中，complex頭文件中定義了一個(gè)complex模板類型，用來處理復(fù)數(shù)。格式如下：

template <class T> class complex;
template<> class complex<float>;
template<> class complex<double>;
template<> class complex<long double>;
T是實(shí)部和虛部的數(shù)字的數(shù)據(jù)類型，它可以支持float、double、long double這幾種類型。

復(fù)數(shù)這個(gè)類模板有多個(gè)構(gòu)造函數(shù)：

complex( const T& re = T(), const T& im = T() );
complex( const complex& other );
template<class X > complex( const complex<X>& other);

從上面復(fù)數(shù)的構(gòu)造函數(shù)可以看出，我們可以用下面的幾種方法來定義一個(gè)復(fù)數(shù)：

• 根據(jù)實(shí)部和虛部的值來構(gòu)造一個(gè)復(fù)數(shù)；
• 根據(jù)一個(gè)復(fù)數(shù)的值來構(gòu)造一個(gè)復(fù)數(shù)；
• 從不同類型的復(fù)數(shù)構(gòu)造一個(gè)復(fù)數(shù)。

#include <iostream>
#include <complex>

int main ()
{
std::complex<float> z1(1.2, 2.3);
std::complex<float> z2(z1);
std::complex<double> z3(z2);

std::cout << z3 << 'n';

return 0;
}

結(jié)果輸出:

(1.2,2.3)

復(fù)數(shù)的運(yùn)算

復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)一樣是可以進(jìn)行+ - × /等算術(shù)運(yùn)算的。假如有兩個(gè)復(fù)數(shù)z1和z2，如下：

復(fù)數(shù)的加法是將兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和實(shí)部相加，虛部和虛部相加：

同樣的，復(fù)數(shù)的減法是將兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和實(shí)部相減，虛部和虛部相減：

復(fù)數(shù)的乘法呢？因?yàn)閺?fù)數(shù)也是滿足實(shí)數(shù)域的交換律、結(jié)合律以及分配律這些定理，因此，我們可以對(duì)乘法進(jìn)行分解。

除法就會(huì)復(fù)雜一些，我們需要考慮將分母的復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)成實(shí)數(shù)。該怎么進(jìn)行轉(zhuǎn)換呢？在這之前，我們需要先了解共軛復(fù)數(shù)，如果有兩個(gè)復(fù)數(shù)z2=c+di和z3=c-di，他們實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)，我們稱它們互為共軛，z2是z3的共軛復(fù)數(shù)，z3也是z2的共軛復(fù)數(shù)。

共軛

共軛復(fù)數(shù)有這樣的一個(gè)特性，如果兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)相乘，它們的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)。

因此，我們可以利用共軛復(fù)數(shù)的這個(gè)特性進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算。

實(shí)際上，我們?cè)谑褂肅++寫程序時(shí)不需要這么復(fù)雜的公式計(jì)算，complex類實(shí)際上已經(jīng)進(jìn)行重載了這些操作。

complex& operator= (const T& val);
template<class X> complex& operator= (const complex<X>& rhs);

template<class T> complex<T> operator+(const complex<T>& lhs, const complex<T>& rhs);
template<class T> complex<T> operator+(const complex<T>& lhs, const T& val);
template<class T> complex<T> operator+(const T& val, const complex<T>& rhs);

template<class T> complex<T> operator-(const complex<T>& lhs, const complex<T>& rhs);
template<class T> complex<T> operator-(const complex<T>& lhs, const T& val);
template<class T> complex<T> operator-(const T& val, const complex<T>& rhs);

template<class T> complex<T> operator*(const complex<T>& lhs, const complex<T>& rhs);
template<class T> complex<T> operator*(const complex<T>& lhs, const T& val);
template<class T> complex<T> operator*(const T& val, const complex<T>& rhs);

template<class T> complex<T> operator/(const complex<T>& lhs, const complex<T>& rhs);
template<class T> complex<T> operator/(const complex<T>& lhs, const T& val);
template<class T> complex<T> operator/(const T& val, const complex<T>& rhs);

template<class T> complex<T> operator+(const complex<T>& rhs);
template<class T> complex<T> operator-(const complex<T>& rhs);

complex頭文件中已經(jīng)包含了常見的運(yùn)算操作，我們通過下面的的例子來加深了解。

#include <iostream>
#include <complex>

int main ()
{
std::complex<double> z1(1, 2);
std::complex<double> z2 = std::complex<double>(3, 4);

std::cout << "z1: " << z1 << std::endl;
std::cout << "z2: " << z2 << std::endl;

std::cout << "z1+z2: " << z1+z2 << std::endl;
std::cout << "z1-z2: " << z1-z2 << std::endl;
std::cout << "z1*z2: " << z1*z2 << std::endl;
std::cout << "z1/z2: " << z1/z2 << std::endl;

std::cout << "z1+2: " <<z1 + 2.0<< std::endl;

return 0;
}

上面的例子中，我們可以使用=直接對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行賦值操作，還可以使用運(yùn)算符對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，而且也支持實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)之間的運(yùn)算，其輸出結(jié)果如下：

z1: (1,2)
z2: (3,4)
z1+z2: (4,6)
z1-z2: (-2,-2)
z1*z2: (-5,10)
z1/z2: (0.44,0.08)
z1+2: (3,2)

當(dāng)然，除了上面的運(yùn)算，還支持+= -= *= /=等這些運(yùn)算。

complex& operator+= (const T& val);
complex& operator-= (const T& val);
complex& operator*= (const T& val);
complex& operator/= (const T& val);

template<class X> complex& operator+= (const complex<X>& rhs);
template<class X> complex& operator-= (const complex<X>& rhs);
template<class X> complex& operator*= (const complex<X>& rhs);
template<class X> complex& operator/= (const complex<X>& rhs);

同樣的，我們看下面的代碼：

#include <iostream>
#include <complex>

int main ()
{
std::complex<double> z1(1, 2);
std::complex<double> z2 = std::complex<double>(3, 4);

z1 += 2.0;
z2 -= z1;

std::cout << "z1: " << z1 << std::endl;
std::cout << "z2: " << z2 << std::endl;

return 0;
}

上面的代碼執(zhí)行結(jié)果：

z1: (3,2)
z2: (0,2)

一些其他函數(shù)

除了上面的一些運(yùn)算，complex頭文件里還有一些函數(shù)，我們選擇一些常見的函數(shù)來進(jìn)行介紹。

• real和imag函數(shù)
• abs函數(shù)
• conj函數(shù)
• arg和polar函數(shù)
• norm函數(shù)
• exp函數(shù)

real和imag函數(shù)

我們知道了復(fù)數(shù)有實(shí)部和虛部組成，當(dāng)我們需要分開對(duì)實(shí)部和虛部處理的時(shí)候，如何取得實(shí)部和虛部的值呢？

complex頭文件定義了獲取實(shí)部（real函數(shù)）和虛部（imag函數(shù)）的函數(shù)：

template<class T> T real (const complex<T>& x);
template<class T> T imag (const complex<T>& x);

示例：

#include <iostream>
#include <complex>

int main ()
{
std::complex<double> z1 (1,2);

std::cout << "real part: " << std::real(z1) << 'n';
std::cout << "imag part: " << std::imag(z1) << 'n';

return 0;
}

結(jié)果：

real part: 1
imag part: 2

abs函數(shù)

復(fù)數(shù)的模也就是向量的長(zhǎng)度，它可以根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部數(shù)值的平方和的平方根的值求出。我們常利用abs函數(shù)計(jì)算信號(hào)的幅度大小。

complex頭文件中取模函數(shù)是abs，其定義：

template<class T> T abs (const complex<T>& x);

示例：

#include <iostream>
#include <complex>

int main ()
{
std::complex<double> z1 (3.0,4.0);

std::cout << "Absolute value: "<< std::abs(z1) << std::endl;

return 0;
}

結(jié)果：

Absolute value: 5

conj函數(shù)

在上面的除法運(yùn)算中，我們知道，如果實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)，那么它們互為共軛復(fù)數(shù)。complex也提供了一個(gè)函數(shù)conj便于我們求解一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)。

template<class T> complex<T> conj (const complex<T>& x);

示例：

#include <iostream>
#include <complex>

int main ()
{
std::complex<double> z1 (2.0,3.0);

std::cout << "z1: " << z1 << std::endl;
std::cout << "z1 conjugate: " << std::conj(z1) << std::endl;

return 0;
}

結(jié)果：

z1: (2,3)
z1 conjugate: (2,-3)

arg函數(shù)與polar函數(shù)

arg和polar是兩個(gè)”相反“的函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。arg函數(shù)作用是根據(jù)一個(gè)復(fù)數(shù)返回一個(gè)角度，而polar函數(shù)可以根據(jù)角度返回一個(gè)復(fù)數(shù)。它們?cè)谟?jì)算相位或者根據(jù)相位計(jì)算其對(duì)應(yīng)的IQ時(shí)較為常用。

template<class T> T arg (const complex<T>& x);
template<class T> complex<T> polar (const T& rho, const T& theta = 0);

示例：

#include <iostream>
#include <complex>

int main ()
{

std::complex<double> z1 (3,4);
double theta = std::arg(z1);
std::complex<double> z2 = std::polar(5.0, theta);

std::cout << "angle:" << theta << std::endl;
std::cout << "polar:" << z2 << std::endl;

return 0;
}

上面的示例先用arg函數(shù)求出對(duì)應(yīng)的theta角，然后，再用polar函數(shù)根據(jù)求出的theta角以及幅值r返回相應(yīng)的復(fù)數(shù)，結(jié)果如下：

angle:0.927295
polar:(3,4)

norm函數(shù)

norm函數(shù)可以計(jì)算復(fù)數(shù)的平方和，即實(shí)部和虛部平方的和，可用于計(jì)算IQ數(shù)據(jù)的功率大小。其定義如下：

template<class T> T norm (const complex<T>& x);

示例：

#include <iostream>
#include <complex>

int main ()
{
std::complex<double> z1 (3.0,4.0);

std::cout << "z1 norm: " << std::norm(z1) << std::endl;

return 0;
}

結(jié)果：

z1 norm: 25

exp函數(shù)

complex也支持自然指數(shù)，我們可以使用exp函數(shù)。通過這個(gè)函數(shù)，我們就可以生成我們想要的復(fù)指數(shù)信號(hào)了。

template<class T> complex<T> exp (const complex<T>& x);

我們可以利用這個(gè)函數(shù)生成一個(gè)theta角為pi的復(fù)指數(shù)數(shù)據(jù)，示例代碼：

#include <complex>
#include <iostream>

int main()
{
double pi = std::acos(-1);
std::complex<double> i(0, 1);

std::cout << std::fixed << " exp(i*pi) = " << std::exp(i * pi) << 'n';
}

運(yùn)行結(jié)果如下：

exp(i*pi) = (-1.000000,0.000000)

最后

毋庸置疑，復(fù)數(shù)的提出對(duì)數(shù)學(xué)界來說是一個(gè)全新的發(fā)展，復(fù)數(shù)擴(kuò)展了數(shù)的概念，讓數(shù)從一維變成了二維。復(fù)數(shù)也是現(xiàn)代數(shù)字通信行業(yè)發(fā)展的必要條件，它是數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)。數(shù)字信號(hào)處理是一個(gè)極為抽象和復(fù)雜的學(xué)科，掌握復(fù)數(shù)的處理方法對(duì)數(shù)字信號(hào)處理應(yīng)用實(shí)為必要，因此大家一定要熟練掌握這些方法的應(yīng)用。